РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 507652 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Использование косвенных методов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Неравенства. Другие неравенства смешанного типа

Решите неравенство $5 в степени левая круглая скобка минус |x минус 2| правая круглая скобка умножить на \log _2 левая круглая скобка 4x минус x в квадрате минус 2 правая круглая скобка больше или равно 1.$

Решение. Покажем, что наибольшее значение левой части неравенства равно 1. Действительно,

$~0 меньше 5 в степени левая круглая скобка минус |x минус 2| правая круглая скобка меньше или равно 5 в степени 0 = 1.$

В силу тождества $4x минус x в квадрате минус 2 =2 минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате$ имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус x в квадрате минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 = 1 .$

Поскольку левая часть не больше 1, а правая равна 1, неравенство выполнено тогда и только тогда, когда оба множителя равны 1, откуда

$система выражений \log _2 левая круглая скобка 4x минус x в квадрате минус 2 правая круглая скобка =1, 5 в степени левая круглая скобка минус |x минус 2| правая круглая скобка =1 конец системы равносильно система выражений 2 минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате =2, |x минус 2|=0 конец системы равносильно x=2.$

Ответ: 2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2