PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем систему:
Неравенство 
задаёт на плоскости полосу, граница которой — пара параллельных прямых: 
и 
Если 
то система не имеет решений, поскольку правая часть уравнения становится отрицательной. Если 
то уравнение принимает вид: 
и задаёт единственную точку 
координаты которой удовлетворяют неравенству: 
Следовательно, при 
система имеет единственное решение.
Рассмотрим случай 
Тогда уравнение 
определяет окружность радиусом 
Центр 
окружности лежит на прямой 
которая перпендикулярна граничным прямым полосы и пересекает их в точках 
и 
Система имеет единственное решение, если только окружность внешним образом касается полосы в точке A или в точке 
Если точка касания — A, то 
что невозможно, поскольку Окружность касается полосы в точке B, только если 
и 
Получаем:
Условию удовлетворяет только корень 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Решение в целом верное, но допушена вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу. | 3 |
Обосновано найдено значение 2, однако, в ответ включены посторонние значения, полученные в других случаях касания окружности и полосы, либо не рассмотрен случай (либо рассмотрен, но значение  не признано подходящим значением параметра). | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание взаимного расположения окружности и полосы − или верный переход к уравнениям относительно | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
