РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 507640 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства рациональные относительно показательной функции, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений новая строка x в квадрате \log _16x больше или равно \log _16x в степени 5 плюс x\log _2x, новая строка 4 в степени x плюс 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби . конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство:

$x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 2 x больше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс x логарифм по основанию 2 x.$

Перенесём все члены в правую часть и умножим на 4:

$x в квадрате логарифм по основанию 2 x минус 4x логарифм по основанию 2 x минус 5 логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 5 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0.$ $x в квадрате логарифм по основанию 2 x минус 4x логарифм по основанию 2 x минус 5 логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 5 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0.$

Заметим, что $x больше 0,$ поэтому $x плюс 1 больше 0.$ Получаем: $левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0.$

Решение первого неравенства: $0 меньше x меньше или равно 1$ или $x больше или равно 5.$ Решим второе неравенство. Пусть $y = 4 в степени x ,$ тогда:

$y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби больше или равно дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 3y в квадрате минус 10y плюс 3\geqslant0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка y больше или равно 3. конец совокупности .$ $y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби больше или равно дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно 3y в квадрате минус 10y плюс 3\geqslant0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка y больше или равно 3. конец совокупности .$ $y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби больше или равно дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно 3y в квадрате минус 10y плюс 3\geqslant0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка y меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка y больше или равно 3. конец совокупности .$

Пересекая решения, получим, что множество решений исходной системы неравенств: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 4 3;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 4 3;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

507640

$левая квадратная скобка логарифм по основанию 4 3;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507640	$левая квадратная скобка логарифм по основанию 4 3;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$