РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А.

Решение. Наименьшее общее кратное чисел, составляющих множество А  — 210  =  2 · 3 · 5 · 7. Поэтому числа, составляющие множество А  — это делители 210. Всего делителей 16:

1, 2, 3, 5, 7, 2 · 3, 2 · 5, 2 · 7, 3 · 5, 3 · 7, 5 · 7, 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, 2 · 5 · 7, 3 · 5 · 7, 2 · 3 · 5 · 7.

Каждый делитель содержит не более одного множителя 2. А произведение всех чисел из А делится 1920  =  2⁷ · 3 · 5. Поэтому среди чисел, составляющих А, должно быть, по крайней мере семь четных, а всего их восемь:

2, 2 · 3, 2 · 5, 2 · 7, 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, 2 · 5 · 7, 2 · 3 · 5 · 7

Если число 2 входит в А, то любое другое число из А должно делится на 2. Значит,

А={2, 6, 10, 14, 30, 42, 70, 210},

но произведение этих чисел равно 2⁸ · 3⁴ · 5⁴ · 7⁴  =  (2⁴ · 3² · 5² · 7²)².

Значит, 2 не входит в А, а числа

2 · 3, 2 · 5, 2 · 7, 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, 2 · 5 · 7, 2 · 3 · 5 · 7

входят в А, но их всего семь. Поэтому этот набор нужно расширить, добавив делители 210, не взаимно простые со всеми указанными семью числами. Такой делитель всего один  — 3 · 5 · 7.

Ответ: А  =  {6, 10, 14, 30, 42, 70, 105, 210}

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Ответ правилен но недостаточно обоснован однако правильно выбраны семь четных чисел, входящих в искомое множество	3
Ответ может быть даже не сформулирован, однако указано, что числа, составляющие искомое множество  — это делители 210 и по крайней мере семь из них  — четные	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507613	А  =  {6, 10, 14, 30, 42, 70, 105, 210}

Ключ