РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а)  Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б)  Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в)  Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Решение. а)  Пример: 1, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов равна 36 − 14  =  22. Если добавить число 4, то разность будет равна 100 − 30  =  70, что ровно на 48 больше, чем было.

б)  Обозначим члены прогрессии a₁, a₂, ..., a_n. Тогда разность, вычиcленная математиком в первый раз, равна

$левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка в квадрате минус a_1 в квадрате минус a_2 в квадрате минус ... минус a_n в квадрате =$

$=2a_n левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 1 правая круглая скобка плюс 2a_n минус 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 2 правая круглая скобка плюс ... плюс 2a_3 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 правая круглая скобка плюс 2a_2a_1.$ $=2a_n левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 1 правая круглая скобка плюс 2a_n минус 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 2 правая круглая скобка плюс$
$плюс ... плюс 2a_3 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 правая круглая скобка плюс 2a_2a_1.$ $=2a_n левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 1 правая круглая скобка плюс$
$плюс 2a_n минус 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 2 правая круглая скобка плюс$
$плюс ... плюс 2a_3 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 правая круглая скобка плюс 2a_2a_1.$

Когда к прогрессии добавили член a_n+1, вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым

$2a_n плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка =2 левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n= левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n,$ $2a_n плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка =2 левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n=$
$= левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n,$ $2a_n плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка =$
$=2 левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n=$
$= левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n,$

где d  — разность прогрессии.

Из условия следует, что $a_1\geqslant0$ и $d\geqslant1,$ поэтому

$левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n больше или равно n в квадрате левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$

Получаем неравенство $n в квадрате левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка \leqslant1440,$ откуда $n\leqslant11.$ Значит, 12 членов в начальной прогрессии быть не может.

в)  Из решения пункта б) следует, что $n\leqslant11.$

Из равенства $левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n=1440$ следует, что n является делителем числа 1440. Значит, $n не равно 11.$

Пусть n  =  10, получаем

$левая круглая скобка a_1 плюс 10d правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс 9d правая круглая скобка =144.$

Если $d\geqslant2,$ то левая часть не меньше чем $90d в квадрате \geqslant90 умножить на 4=360 больше 144.$ Следовательно, d  =  1. Получаем уравнение $2a_1 в квадрате плюс 29a_1 минус 54=0,$ которое не имеет целых решений.

Пусть n  =  9, получаем

$левая круглая скобка a_1 плюс 9d правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс 8d правая круглая скобка =160.$

Если $d\geqslant2,$ то левая часть не меньше чем $72d в квадрате \geqslant72 умножить на 4=280 больше 160.$ Следовательно, d  =  1. Тогда получаем уравнение $a_1 в квадрате плюс 13a_1 минус 44=0,$ которое не имеет целых решений.

Пусть n  =  8, получаем:

$левая круглая скобка a_1 плюс 8d правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс 7d правая круглая скобка =180.$

Если $d\geqslant2,$ то левая часть не меньше чем $56d в квадрате \geqslant56 умножить на 4=224 больше 180.$ Следовательно, d  =  1. Получаем уравнение $2a_1 в квадрате плюс 23a_1 минус 124=0,$ которое имеет единственный натуральный корень 4.

Значит, прогрессия из восьми чисел 4, 5, 6, ..., 11 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а)  1, 2, 3; б)  нет; в)  8.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в	4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в или в пунктах а и б	3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены	2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507513	а)  1, 2, 3; б)  нет; в)  8.

Ключ