РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 507503 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 10 плюс логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 10 правая круглая скобка \leqslant2x минус 1.$

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов:

$левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 10 плюс логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 10 правая круглая скобка \leqslant2x минус 1 равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 5 5 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка равносильно$ $левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 10 плюс логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 10 правая круглая скобка \leqslant2x минус 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 5 5 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно система выражений новая строка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби больше 0, новая строка 10 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 5 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка . конец системы$

Решим второе неравенство полученной системы:

$10 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка , знаменатель: 5 конец дроби равносильно 4 в степени x левая круглая скобка 4 в степени x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби .$

Пусть $4 в степени x =y,$ тогда имеем:

$y в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби y минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно y меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$

Откуда, учитывая первое неравенство системы, получаем:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби меньше 4 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби равносильно минус логарифм по основанию 4 10 меньше x меньше или равно минус логарифм по основанию 4 5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 10; минус логарифм по основанию 4 5 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507503

$левая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 10; минус логарифм по основанию 4 5 правая квадратная скобка .$