PDF-версии: 
Окружность S радиуса 24 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 36 и 64. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.
Решение. Пусть ABCD — трапеция с боковыми сторонами AB и CD, а окружность S с центром O, вписанная в трапецию, касается оснований BC = 36 и AD = 64 в точках K и M соответственно.
Точки K и M — середины оснований, поэтому CK = 18 и DM = 32. Из прямоугольных треугольников ODM и OCK находим, что
Рассмотрим случай, когда окружность радиуса r с центром O1 вписана в угол ADC, касается окружности S в точке T, а стороны AD — в точке P. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:
а так как точки D, O1 и O лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то
Треугольники O1PD и OMD подобны, поэтому 
или 
откуда находим, что r = 6.
Если же окружность радиуса r1 с центром O2 вписана в угол BCD и касается окружности S, то аналогично получим уравнение 
из которого найдём, что 
Ответ: 6 или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |