№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д11 C4 № 507492

Окружность S радиуса 24 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 36 и 64. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.

Решение.

Пусть ABCD — трапеция с боковыми сторонами AB и CD, а окружность S с центром O, вписанная в трапецию, касается оснований BC = 36 и AD = 64 в точках K и M соответственно.

Точки K и M — середины оснований, поэтому CK = 18 и DM = 32. Из прямоугольных треугольников ODM и OCK находим, что

OD= корень из { OM в степени 2 плюс DM в степени 2 }= корень из { 24 в степени 2 плюс 32 в степени 2 }=8 корень из { 9 плюс 16}=40.

 

OC= корень из { OK в степени 2 плюс CK в степени 2 }= корень из { 24 в степени 2 плюс 18 в степени 2 }=6 корень из { 16 плюс 9}=30.

Рассмотрим случай, когда окружность радиуса r с центром O1 вписана в угол ADC, касается окружности S в точке T, а стороны AD — в точке P. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому:

OO_1=OT плюс TO_1=24 плюс r,

а так как точки D, O1 и O лежат на одной прямой (биссектрисе угла CDA), то

DO_1=OD минус OO_1=40 минус (24 плюс r)=16 минус r.

Треугольники O1PD и OMD подобны, поэтому  дробь, числитель — O_1P, знаменатель — OM = дробь, числитель — O_1D, знаменатель — OD , или  дробь, числитель — r, знаменатель — 24 = дробь, числитель — 16 минус r, знаменатель — 40 , откуда находим, что r = 6.

Если же окружность радиуса r1 с центром O2 вписана в угол BCD и касается окружности S, то аналогично получим уравнение  дробь, числитель — r_1, знаменатель — 24 = дробь, числитель — 6 минус r, знаменатель — 30 , из которого найдём, что r_1= дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 .

 

Ответ: 6 или  дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 .