РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д14 C4 № 507395 Добавить в вариант

Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Многоугольники и их свойства

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC  =  6, AE = 2, CD  =  3.

Решение. Обозначим $BD=y,BE=z.$ Тогда по свойству биссектрисы: $дробь: числитель: 3 плюс y, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: z, знаменатель: 2 конец дроби$ и $дробь: числитель: z плюс 2, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: y, знаменатель: 3 конец дроби ,$ откуда

$система выражений y плюс 3=3z,z плюс 2=2y конец системы равносильно система выражений новая строка z= дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 конец дроби , новая строка y= дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы$

Получаем:

$AB= дробь: числитель: 18, знаменатель: 5 конец дроби , BC= дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби , косинус B= дробь: числитель: AB в квадрате плюс BC в квадрате минус AC в квадрате , знаменатель: 2AB умножить на BC конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка \dfrac18, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка \dfrac245 правая круглая скобка в квадрате минус 6 в квадрате 2 умножить на \dfrac185 умножить на \dfrac245=0.$ $AB= дробь: числитель: 18, знаменатель: 5 конец дроби , BC= дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби , косинус B= дробь: числитель: AB в квадрате плюс BC в квадрате минус AC в квадрате , знаменатель: 2AB умножить на BC конец дроби =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка \dfrac18, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка \dfrac245 правая круглая скобка в квадрате минус 6 в квадрате 2 умножить на \dfrac185 умножить на \dfrac245=0.$

Значит, $\angle B=90 градусов.$ Тогда $ED в квадрате =y в квадрате плюс z в квадрате = левая круглая скобка \dfrac85 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка \dfrac95 правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 145, знаменатель: 25 конец дроби .$ Откуда $DE= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 145, знаменатель: конец аргумента конец дроби 5}.$

Ответ: $DE= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 145, знаменатель: конец аргумента конец дроби 5}.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $DE= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 145, знаменатель: конец аргумента конец дроби 5}.$

507395

$DE= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 145, знаменатель: конец аргумента конец дроби 5}.$

Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507395	$DE= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 145, знаменатель: конец аргумента конец дроби 5}.$