Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 507204

Медианы АА1 и ВВ1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.

Спрятать решение

Решение.

а) Площадь треугольника А1МВ2 в два раза меньше площади треугольника А1МВ, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины А1 у этих треугольников общая: S_A_1MB = 2S_A_1MB_1.

Аналогично получаем еще 5 равенств:

S_A_1MC = 2S_A_1MC_2, S_B_1MC = 2S_B_1MC_2, S_B_1MA = 2S_B_1MA_2, S_C_1MA = 2S_C_1MA_2, S_C_1MB = 2S_C_1MB_2.

Складывая эти равенства почленно, получаем S_ABC = 2S_A_1C_2B_1A_2C_1B_2.

б) Обозначим длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC через а, b, с.

Докажем, что квадрат медианы AA1 равен  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2b в степени 2 плюс 2с в степени 2 минус а в степени 2 ).

Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку А1 отложим отрезок А1Р = AA1. Получим параллелограмм АСРВ со сторонами АС = РВ = b и АВ = CP = с и диагоналями ВС = а и АР = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

2b в степени 2 плюс 2с в степени 2 = а в степени 2 плюс 4AA в степени 2 _1 равносильно AA в степени 2 _1 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2b в степени 2 плюс 2с в степени 2 минус а в степени 2 ).

Аналогично доказывается, что BB в степени 2 _1 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2a в степени 2 плюс 2c в степени 2 минус b в степени 2 ), a CC в степени 2 _1 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2a в степени 2 плюс 2b в степени 2 минус c в степени 2 ). Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника АВМ, значит,

C_1A_2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BM = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BB_1 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BB_1.

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: B_2C_1 = B_1C_2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AA_1, A_2B_1 = A_1B_2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби CC_1. Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

2 умножить на (B_1C в степени 2 _2 плюс A_1C в степени 2 _2 плюс A_1B в степени 2 _2) = дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби (AA в степени 2 _1 плюс BB в степени 2 _1 плюс CC в степени 2 _1) = дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на (2b в степени 2 плюс 2c в степени 2 минус a в степени 2 плюс 2a в степени 2 плюс 2c в степени 2 минус b в степени 2 плюс 2a в степени 2 плюс 2b в степени 2 минус c в степени 2 ) =

 дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 18 умножить на 3 умножить на (a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс c в степени 2 )= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на (a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс c в степени 2 ).

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна  дробь: числитель: 43, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 43, знаменатель: 2 конец дроби .

 

 

----------

Дублирует задание 505536.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства