В треугольнике $ABC,AB=13,BC=7,CA=11.$ Точка D лежит на прямой BC причем $BD:DC=1:7.$ Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Решение. Пусть $AD=d,BD=x, DC=y.$ Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников

$P_ADC=AE плюс ED плюс DC плюс AC=d плюс y плюс 11=2DE плюс 2 умножить на 11.$

Откуда получаем: $DE= дробь: числитель: d плюс y минус 11, знаменатель: 2 конец дроби .$ Аналогично, $DF= дробь: числитель: d плюс x минус 13, знаменатель: 2 конец дроби .$

Тогда, $EF=|DE минус DF|=\left| дробь: числитель: 2 плюс y минус x, знаменатель: 2 конец дроби |.$

Возможны два случая:

1. Точка D лежит на отрезке $BC.$ Тогда $x= дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби ,y= дробь: числитель: 49, знаменатель: 8 конец дроби ,$ значит, $EF= дробь: числитель: 29, знаменатель: 8 конец дроби .$

2. Точка D лежит вне отрезка $BC.$ Тогда $y минус x=BC=7,$ значит, $EF= дробь: числитель: 2 плюс 7, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 29, знаменатель: 8 конец дроби$ или $дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: 29, знаменатель: 8 конец дроби$ или $дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби .$

507178

$дробь: числитель: 29, знаменатель: 8 конец дроби$ или $дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби .$

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники