PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Заметим, что если пара 
является решением системы, то и пара 
тоже является решением, поскольку 
Поэтому все решения системы кроме тех, в которых 
разбиваются на пары. Поэтому если решение системы единственно, то в этом решении 
Из второго уравнения тогда 
или 
Если 
то из первого уравнения 
Если 
то из первого уравнения 
Итак, возможные ситуации — 
и решение 
или 
и решение (0;0).
Осталось установить, будут ли эти решения единственными.
Случай 1. Тогда из второго уравнения сразу получаем а тогда из первого — Здесь действительно единственное решение.
Случай 2. Тогда система сводится к такой
Из второго уравнения 
поэтому первая задача сводится к 
Левая часть не меньше двух (как сумма двух взаимно обратных чисел), правая — не больше двух, причем равенства возможны только при 
Итак, здесь тоже единственное решение.
Ответ: или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
или или