Ре­ше­ние. а)  До­ста­точ­но за­ме­тить, что в по­сле­до­ва­тель­но­сти 1975237796915163559217996... после каж­дой чётной цифры идут под­ряд че­ты­ре нечётные цифры. По­это­му четвёрка 1234 в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти встре­тить­ся не может. Четвёрка 3269 тоже встре­тить­ся не может.

б)  В усло­вии за­да­чи дано пра­ви­ло, как по четырём рядом сто­я­щим циф­рам опре­де­лять сле­ду­ю­щую цифру. По­про­бу­ем сде­лать на­о­бо­рот: по четырём рядом сто­я­щим циф­рам abcd опре­де­лить пред­ше­ству­ю­щую им цифру x. По­сколь­ку цифра d сле­ду­ет за четвёркой цифр xabc, то цифра d равна по­след­ней цифре суммы x + a + b + c и, зна­чит, x + a + b + c  =  10k + d при не­ко­то­ром целом k. От­сю­да x  =  10k + (d − a − b − c). По­сколь­ку x  — цифра, то из по­след­не­го вы­ра­же­ния сле­ду­ет, что x равно остат­ку от де­ле­ния на 10 числа (d − a − b − c). Раз­де­лить число p на число q с остат­ком  — зна­чит, найти числа s и r такие, что p  =  sq + r и 0 ≤ r < q. Оста­ток от де­ле­ния од­но­го це­ло­го числа на дру­гое опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но; зна­чит, цифра x также опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но. На­при­мер, чтобы опре­де­лить цифру, пред­ше­ству­ю­щую четвёрке 1 9 7 5, надо от 5 от­нять 1, 9, 7 и раз­де­лить по­лу­чен­ное число (−12) с остат­ком на 10. В остат­ке по­лу­чим 8; зна­чит, цифра 8 пред­ше­ству­ет четвёрке 1975. Итак, мы до­ка­за­ли сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние: двум оди­на­ко­вым четвёркам цифр, сто­я­щих рядом в по­сле­до­ва­тель­но­сти 197523..., пред­ше­ству­ет одна и та же цифра. По­сколь­ку раз­лич­ных четвёрок цифр ко­неч­ное число, а имен­но 10 000 штук, то в бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти 197523... какая-⁠то четвёрка встре­тит­ся вто­рич­но. Пусть это будет четвёрка цифр a, b, c, d. Тогда по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид

197523 ... xabcd ... yabcd ...

На­пи­шем под этой по­сле­до­ва­тель­но­стью эту же по­сле­до­ва­тель­ность ещё раз, но «сдви­ну­тую» так, чтобы под пер­вой четвёркой a b c d ока­за­лась вто­рая. Со­глас­но до­ка­зан­но­му выше утвер­жде­нию x  =  y. Ана­ло­гич­но, сов­па­да­ют цифры и в пред­ше­ству­ю­щем x и y столб­це, и так далее. По­это­му под четвёркой 1975 в «верх­ней» по­сле­до­ва­тель­но­сти стоит четвёрка 1975 в «ниж­ней» по­сле­до­ва­тель­но­сти. А это и озна­ча­ет, что четвёрка 1975 встре­ча­ет­ся в по­сле­до­ва­тель­но­сти 197523 ... вто­рич­но.

в)  Как было по­ка­за­но выше, перед четвёркой цифр 1975, встре­ча­ю­щей­ся в по­сле­до­ва­тель­но­сти 197523 ... во вто­рой раз, будет сто­ять цифра 8. Зна­чит, в рас­смат­ри­ва­е­мой по­сле­до­ва­тель­но­сти встре­тит­ся четвёрка 8197.