Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 9, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 9. По усло­вию по­это­му

Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 36 чисел.

б)  При­ведём ра­вен­ство к виду

Так как по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в)  (оцен­ка) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства

от­ку­да

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 16.

в)  (при­мер) При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз на­пи­са­но число 9, 18 раз на­пи­са­но число −18 и два раза на­пи­сан 0.

Тогда

Ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а)  36; б)  от­ри­ца­тель­ных; в)  16.