PDF-версии: 
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1.
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.
Решение. а)
значит, по теореме о трех перпендикулярах, 
Аналогично 
Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
б) Плоскость 
проходит через точку пересечения диагоналей квадрата 
Опустим перпендикуляр 
на плоскость 
Точка 
является точкой пересечения диагоналей квадрата 
Диагонали квадрата в 
раз больше стороны квадрата и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому 
Отрезок равен стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора найдём 
Найдём синус угла 
В плоскости BOD1 опустим перпендикуляр BH на прямую OD1. Заметим, что прямая AC перпендикулярна плоскости BOD1 и, следовательно, BH перпендикулярен прямой AC. Таким образом, BH перпендикулярен плоскости ACD1, а длина отрезка BH будет являться расстоянием от точки B до плоскости Рассмотрим четырёхугольник 
и 
следовательно, 
— прямоугольник, откуда 
Прямая HD1 — секущая при параллельных прямых BD и 
поэтому углы HOB и 
равны. Из прямоугольного треугольника OBH найдём
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |