Ре­ше­ние. а)  Пусть K, L, M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AB, BC, CD и AD четырёхуголь­ни­ка ABCD со­от­вет­ствен­но. Тогда KL и MN  — сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и ADC. Зна­чит, и KL || AC || MN, по­это­му KLMN  — па­рал­ле­ло­грамм. Его диа­го­на­ли KM и LN делят друг друга по­по­лам, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  В тре­уголь­ни­ке KLM имеем:

Зна­чит, Тогда KM²  =  KL² + LM², по­это­му тре­уголь­ник KLM пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с пря­мым углом при вер­ши­не L. Четырёхуголь­ник KLMN  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му

Пусть ис­ко­мая пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD равна S. От­ре­зок KL яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му Ана­ло­гич­но Тогда, имеем:

где S  — ис­ко­мая пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD. Ана­ло­гич­но По­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Рус­ла­на Мо­ро­зо­ва.

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей, умно­жен­ной на синус угла между ними:

где α   — угол между диа­го­на­ля­ми AC и BD. Пря­мые AC и KL, а также BD и LM по­пар­но па­рал­лель­ны, по­это­му В тре­уголь­ни­ке KLM имеем:

Зна­чит,

Тогда по­это­му тре­уголь­ник KLM пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с пря­мым углом при вер­ши­не L. Сле­до­ва­тель­но, угол α пря­мой, от­ку­да

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что при ре­ше­нии пунк­та а) до­ка­за­на тео­ре­ма Ва­ри­ньо­на: се­ре­ди­ны сто­рон про­из­воль­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Дан­ную тео­ре­му можно ис­поль­зо­вать без до­ка­за­тель­ства, по­сколь­ку она пред­ло­же­на как за­да­ча для са­мо­сто­я­тель­но­го ре­ше­ния в учеб­ни­ке гео­мет­рии для 7-9 клас­сов (Л. А.Ата­на­сян, В. Ф.Бу­ту­зов, С. Б.Ка­дом­цев и др.)