PDF-версии: 
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен 
Точка M — середина ребра SC, точка N — середина ребра AC.
а) Докажите, что угол между прямыми BM и SA либо равен углу BMN, либо дополняет его до 180°.
б) Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.
Решение. а) Поскольку MN || SA по теореме о средней линии треугольника, угол между прямыми BM и SA равен углу между прямыми ВМ и MN. За угол между неперпендикулярными прямыми принимают меньший из углов, образованных при из пересечении. Поэтому этот угол либо равен углу BMN, если угол BMN острый, либо равен 180° −∠BMN, если угол BMN тупой.
б) Найдём стороны треугольника BMN. По теореме о средней линии треугольника 
По теореме косинусов из треугольника BSM получаем:
Чтобы найти BN, найдём сначала сторону основания по теореме косинусов из треугольника BSC:
Теперь 
как высота в равностороннем треугольнике со стороной 8. Осталось вычислить косинус нужного угла:
Ответ: 
Примечание Анны Мочкиной (Санкт-Петербург).
Показав в пункте б) что косинус угла BMN положительный, можно сделать вывод о том, что угол BMN острый. Тогда из пункта а) следует окончательный вывод: угол между прямыми BM и SA равен углу BMN.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |