PDF-версии: 
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, 
Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что 
а) Докажите, что плоскость APT делит высоту MD треугольника BMC в отношении 3 : 2, считая от точки M.
б) Вычислите объём пирамиды MPTA.
Решение. а) Пусть плоскость APT пересекает отрезок MD в точке E, а прямая PT пересекает продолжение BC в точке Q. Применим теорему Менелая:
Отсюда 
а значит 
ведь D — середина BC. Применим теорему Менелая:
Отсюда 
А это и требовалось доказать.
б) Проведём высоту AD треугольника ABC. В то же время AD — высота пирамиды MPTA, опущенная из вершины A на плоскость основания MPT. Имеем:
Площадь треугольника MPT составляет 
Следовательно,
Найдём объём пирамиды:
Ответ: 24.
Приведём другое решение.
Объем пирамиды MPTA равен 
где точка D — середина BC.
a) Поскольку AD — медиана треугольника ABC, AD — его высота. Поскольку прямая AD перпендикулярна BC и прямая AH перпендикулярна MH (так как по условию плоскости ABC и MBC перпендикулярны и прямая AD перпендикулярна плоскости ABC), т. е. является высотой пирамиды MPTA.
б) Площадь треугольника MPT равна
Тогда 
и потому объем пирамиды MPTA равен
Ответ: 24.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |