PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 2.
а) Докажите, что высоты пирамиды, проведенные из вершин A и S, пересекаются.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Решение. а) Пусть SO и AH — высоты пирамиды. Точка M — середина BC. Заметим, что точка O лежит на высоте равностороннего треугольника ABC, то есть на отрезке AM. Точка A равноудалена от B и С, поэтому и ее проекция на плоскость — H равноудалена от B и С. Значит, точка H лежит на серединном перпендикуляре к BC — прямой SM. Таким образом, AH и SO лежат в плоскости ASM, а, значит, пересекаются в одной точке.
б) В равностороннем треугольнике ABC найдем:
Пусть V — объём пирамиды, тогда
С другой стороны, 
где h — искомое расстояние. В треугольнике SBC высота SM равна
Площадь треугольника SBC равна
Получаем, что
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |