PDF-версии: 
На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.
Решение. а) Возьмём на диагонали AC параллелограмма ABCD точку O (не посередине) и проведём через неё перпендикуляры NL и KM к сторонам параллелограмма (см. рис.). Прямоугольные треугольники CKO и AMO подобны. Точно так же подобны треугольники CNO и ALO:
OK : OM = OC : OA = ON : OL.
Отсюда следует подобие треугольников ONK и OLM. Тогда накрест лежащие углы OML и OKN равны, а поэтому прямые NK и ML параллельны. Следовательно, четырёхугольник KLMN — параллелограмм или трапеция.
Докажем, что это трапеция. Если KLMN — параллелограмм, то ON = OL. В этом случае OC = OA, то есть O — середина AC. Противоречие. Значит, KLMN — трапеция.
б) Обозначим площадь параллелограмма S, а его острый угол – α. Угол между диагоналями NL и KM трапеции KLMN равен углу между перпендикулярными диагоналям прямыми BC и CD, то есть этот угол равен α.
Поэтому площадь трапеции равна:
Подставляя α = 60° и S = 16, получаем, что площадь трапеции равна
Ответ: 6.
Приведем решение пункта а) Ивана Иванова (Владивосток).
Сумма углов AMO и ALO равна 90° + 90° = 180°. Следовательно, четырёхугольник AMOL — вписанный. Поэтому вписанные углы LAO и LMO равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу.
Сумма углов CNO и CKO равна 90° + 90° = 180°. Следовательно, четырёхугольник KONC — вписанный. Поэтому вписанные углы NKO и NCO равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу.
Углы LAO и NCO равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Следовательно, углы LMO и NKO равны, поэтому прямые NK и ML параллельны по равенству накрест лежащих углов.
Докажем, что четырехугольник — трапеция. Имеем:
Следовательно, и отрезки MO и KO не равны, значит, KLMN не параллелограмм. Тогда это трапеция.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |