№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка Готово, можно копировать.
Задания
Задание 18 № 504834

Петя умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное а. Вася умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное b.

а) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 8?

б) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 11?

в) Какие значения может принимать модуль разности чисел a и b?

Спрятать решение

Решение.

а) Да, например, Петя умножил 8 на 9, получив 72, а Вася умножил 8 на 10, получив 80. Модуль разности полученных произведений равен 8.

 

б) Заметим, что произведение последовательных чисел всегда четно, так как одно из них четно. Таким образом, Петино произведение будет четным. Васино же произведение четно в силу того, что он перемножает два четных числа. Значит, и модуль разности чисел a и b будет четным, таким образом, он не может быть равен 11.

 

в) Как было показано в пункте б) модуль разности будет четным. Покажем, что он не может быть равен нулю. Пусть Петя перемножал числа x и x плюс 1, а Вася ― числа y и y плюс 2. Тогда, если модуль разности их произведений равен нулю, имеем:

x(x плюс 1)=y(y плюс 2) равносильно x в степени 2 плюс x=y в степени 2 плюс 2y равносильно x в степени 2 плюс x плюс 1=(y плюс 1) в степени 2 .

Заметим, что x меньше y плюс 1, так как x в степени 2 меньше (y плюс 1) в степени 2 С другой стороны, y плюс 1 меньше x плюс 1, так как (y плюс 1) в степени 2 =x в степени 2 плюс x плюс 1 меньше (x плюс 1) в степени 2 .

Итак, x меньше y плюс 1 меньше x плюс 1, но натуральное число не может лежать между двумя соседними натуральными числами. Значит, модуль разности не может равняться 0. Тогда он не меньше 2, так как четен.

Покажем, что он может принимать любое четное натуральное значение. Пусть Петя умножил четное число n на n плюс 1, а Вася умножил n на n плюс 2. Тогда модуль разности их произведений равен:

n(n плюс 2) минус n(n плюс 1)=n.

ввиду того, что n ― любое четное натуральное число, то искомый модуль разности может принимать любое четное натуральное значение.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) все четные натуральные числа.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл).4
Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл).3
Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл).2
Верно получен один из перечисленных результатов:

― приведен верный пример в пункте а);

― обоснованное решение пункта б);

― доказательство невозможности равенства полученных произведений в);

― доказательство того, что любое четное натуральное число является

ответом на вопрос пункта в).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0