Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 503149

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение.

Задание а). Обозначим центры окружностей O_1 и O_2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM=KM и. KM=BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит,  AD\bot AB. Аналогично получаем, что BC\bot AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники BKC и AKD подобны,  дробь, числитель — AD, знаменатель — BC = дробь, числитель — DK, знаменатель — KB =4. Пусть S_{BKC}=S, тогда S_{AKD}=16S.

У треугольников  AKD и AKB общая высота, следовательно,  дробь, числитель — S_{AKD}, знаменатель — S_{AKB }= дробь, числитель — DK, знаменатель — KB = дробь, числитель — AD, знаменатель — BC , то есть S_{AKB}=4S. Аналогично, S_{CKD}=4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O_2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O_2HO_1:

O_2H= корень из { O_1O_2 в степени 2 минус O_1H в степени 2 }=4.

Тогда

S_{ABCD}= дробь, числитель — AD плюс BC, знаменатель — 2 умножить на AB=20.

Следовательно, 25S=20, откуда S=0,8 и  S_{AKB}=4S=3,2.

 

Ответ: 3,2.


Аналоги к заданию № 501887: 503149 Все

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2014 по математике.
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника