Найдите точку максимума функции $y = натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате плюс 2x плюс 7.$

Решение. Заметим, что $натуральный логарифм a в квадрате = 2 натуральный логарифм |a|,$ а значит,

$y = 2 натуральный логарифм |x плюс 4| плюс 2x плюс 7 = система выражений 2 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка плюс 2x плюс 7, x больше минус 4, 2 натуральный логарифм левая круглая скобка минус x минус 4 правая круглая скобка плюс 2x плюс 7, x меньше минус 4. конец системы .$ $y = 2 натуральный логарифм |x плюс 4| плюс 2x плюс 7 =$
$= система выражений 2 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка плюс 2x плюс 7, x больше минус 4, 2 натуральный логарифм левая круглая скобка минус x минус 4 правая круглая скобка плюс 2x плюс 7, x меньше минус 4. конец системы .$

Тогда

$y' = система выражений дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 4 конец дроби плюс 2, x больше минус 4, дробь: числитель: 2 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: минус x минус 4 конец дроби плюс 2, x меньше минус 4 конец системы . = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 4 конец дроби .$

Производная обращается в нуль в точке –5, которая является точкой максимума.

Ответ: − 5.

Приведём другой способ нахождения производной.

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:

$y' = дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби умножить на 2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на 1 плюс 2 = дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 4 конец дроби плюс 2 = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 4 конец дроби .$ $y' = дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби умножить на 2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на 1 плюс 2 =$
$= дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 4 конец дроби плюс 2 = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 4 конец дроби .$

Ответ: -5

503145

-5

Источники:

Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания;

3.2.5 Точки экстремума функции;

3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции;

4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков;

4.2.1.3* Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке.