PDF-версии: 
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.
Решение. а) Прямые AE и CD параллельны, a DE — биссектриса угла ADC, поэтому ∠AED = ∠CDE = ∠ADE. Значит, треугольник ADE равнобедренный, AD = АЕ. Отрезки АK и AT касательных, проведённых к окружности из точки A, равны, значит, треугольник ATK также равнобедренный, причём угол при вершине A у этих треугольников общий. Поэтому ∠ATK = ∠ADE. Следовательно, KT || DE.
б) Пусть окружность касается основания DE равнобедренного треугольника ADE в точке М. Тогда M — середина DE. Обозначим DM = x. Тогда DT = DM = x, 
или 
Отсюда находим, что x = 4. Тогда DE = 2х = 8, значит, треугольник ADE равносторонний. Следовательно, ∠BAD = ∠EAD = 60°.
Ответ: 60°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |