РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 502317 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнение с модулем, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Перебор случаев

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях

Задача с параметром. Использование симметрий

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$x в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате =|x минус 1 плюс a| плюс |x минус a плюс 1|$

имеет единственный корень.

Решение. Запишем уравнение в виде

$x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате = |x плюс a минус 1| плюс |x минус a плюс 1|.$

Если $x_0$ является корнем исходного уравнения, то и $минус x_0$ является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если $x_0= минус x_0$ то есть $х_0 = 0.$ Подставим значение $x=0$ в уравнение:

откуда либо $|1 минус а| = 0 равносильно a = 1,$ либо $|1 минус a| = 2 равносильно a = минус 1$ или $a = 3.$

При $a = 1$ уравнение принимает вид $x в квадрате =2|x|.$ Корнями этого уравнения являются числа $минус 2, 0$ и $2,$ то есть уравнение имеет ровно три корня.

При $a = минус 1$ и при $a = 3$ уравнение принимает вид $x в квадрате плюс 4=|x минус 2| плюс |x плюс 2|.$

При $х меньше минус 2$ это уравнение сводится к уравнению $x в квадрате плюс 2x плюс 4=0,$ которое не имеет корней.

При $минус 2 меньше или равно x меньше или равно 2$ получаем уравнение $x в квадрате =0,$ которое имеет единственный корень.

При $x больше 2$ получаем уравнение $x в квадрате минус 2x плюс 4=0,$ которое не имеет корней.

Таким образом, при $a = минус 1$ и при $a = 3$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a= минус 1$ и $a=3.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Обоснованно получены все значения: Ответ отличается от верного только исключением точки и/или включением точки	3
Обоснованно получены все значения:	2
Верно найдено одно или два из значений	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных вышe	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a= минус 1$ и $a=3.$

502317

$a= минус 1$ и $a=3.$

Классификатор алгебры: Уравнение с модулем, Уравнения с параметром

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	502317	$a= минус 1$ и $a=3.$