PDF-версии: 
Окружность радиуса 
вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.
Решение. Пусть O1 — центр окружности радиуса 
— второй окружности, A — вершина прямого угла, тогда
Возможны два случая. Первый случай: точка O1 лежит между точками A и O2 (рис. 1), тогда O2A = O1A + O1O2 = 20, откуда радиус второй окружности 
В треугольнике O1MO2 имеем: 
Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.
Полупериметр треугольника O1MO2 равен 
тогда для площади треугольника имеем:
откуда 
Второй случай: точка O2 лежит между точками A и O1 (рис. 2), тогда O2A = O1A − O1O2 = 4, откуда радиус второй окружности 
В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 8, 
Аналогично первому случаю, высота MN треугольника O1MO2 равна половине MN.
В треугольнике O1MO2 полупериметр:
откуда 
Вычисления для второго случая можно упростить: поскольку длины OM, O2M и O1O2 являются пифагоровой тройкой, точка H совпадает с центром O2, а потому 
Приведём решение задачи методом координат.
Заметим, что центр окружности лежит на биссектрисе прямого угла, поэтому расстояние между центрами окружностей радиусов R и r равно 
где R > r. По условию это расстояние равно 8, поэтому если радиус большей окружности 
(случай 1), то:
а если радиус меньшей окружности 
(случай 2), то:
Поместим начало системы координат в вершине прямого угла, а координатные оси расположим вдоль его сторон. Тогда в случае 1 координаты точек пересечения окружностей можно найти из системы уравнений:
решая которую, находим: 
Тогда по формуле расстояния между двумя точками находим: 
откуда 
В случае 2 имеем систему уравнений:
решая которую, находим: 
Далее находим
откуда 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены всевозможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ. | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины. | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или