РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 501516 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 27 умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно 87, \log _3x дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби умножить на логарифм по основанию 3 27x плюс 9 больше или равно 0. конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $y=3 в степени x .$

$18y плюс дробь: числитель: 27, знаменатель: y конец дроби меньше или равно 87 равносильно дробь: числитель: 18y в квадрате минус 87y плюс 27, знаменатель: y конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2y минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 3y минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: y конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше 0, новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно y меньше или равно дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $18y плюс дробь: числитель: 27, знаменатель: y конец дроби меньше или равно 87 равносильно дробь: числитель: 18y в квадрате минус 87y плюс 27, знаменатель: y конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2y минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 3y минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: y конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше 0, новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно y меньше или равно дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Учитывая, что $3 в степени x больше 0,$ получаем: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 3 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда находим решение первого неравенства системы: $минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2 минус логарифм по основанию 3 2.$

2.  Решим второе неравенство системы:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 3 27x, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби правая круглая скобка 3x конец дроби плюс 9 больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x плюс 3, знаменатель: минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби плюс 9 больше или равно 0 равносильно 9 минус дробь: числитель: 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x плюс 3, знаменатель: логарифм по основанию 3 x плюс 1 конец дроби меньше или равно 3.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 27x, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби правая круглая скобка 3x конец дроби плюс 9 больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x плюс 3, знаменатель: минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби плюс 9 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 9 минус дробь: числитель: 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x плюс 3, знаменатель: логарифм по основанию 3 x плюс 1 конец дроби меньше или равно 3.$

Сделаем замену $z= логарифм по основанию 3 x:$

$дробь: числитель: z плюс 3, знаменатель: z плюс 1 конец дроби меньше или равно 3 равносильно минус дробь: числитель: 2z, знаменатель: z плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка z меньше минус 1, новая строка z больше или равно 0. конец совокупности .$

Тогда $логарифм по основанию 3 x меньше минус 1$ или $логарифм по основанию 3 x больше или равно 0,$ откуда $0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ или $x больше или равно 1.$

3.  Учтём, что $1 меньше 2 минус логарифм по основанию 3 2.$ Пересекая полученные решения найдём множество решений исходной системы неравенств: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 минус логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 минус логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы	2
Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

501516

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 минус логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	501516	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 минус логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка .$