PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
на промежутке
имеет больше двух корней.
Решение. Рассмотрим функции
и 
Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков данных функций. Определим, при каких a графики будут иметь более двух общих точек на открытом луче 
Уравнение 
задает семейство прямых, проходящих через точку 
с угловым коэффициентом, равным a. Изобразим эскиз графика функции f (см. рис.) и заметим, что при 
графики не имеют общих точек на промежутке
Рассмотрим положительные значения параметра. Если угловой коэффициент прямой меньше, чем у прямой n, или больше, чем у прямой m, то на промежутке 
графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой n или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые лежат внутри острого угла, образованного прямыми n и m. Найдем граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.
Прямая n проходит через точку 
тогда 
откуда находим 
Заметим, что на луче 
функция f принимает вид 
и что прямая n вторично пересекает график f в точке 
Прямая m касается ветви гиперболы 
Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение 
или 
имеет единственное решение. Чтобы квадратное относительно 
уравнение имело единственный корень, его дискриминант 
должен быть равен нулю, отсюда 
При найденном значении параметра точка касания С имеет координаты 
она действительно лежит между точками
Итак, при 
исходное уравнение будет иметь более двух корней на 
Ответ: 
Приведём авторское решение.
Рассмотрим функции 
и 
Исследуем уравнение 
на промежутке 
При все значения функции 
на промежутке 
отрицательны, а все значения функции 
неотрицательны, поэтому при 
уравнение не имеет решений на промежутке 
При 
функция возрастает. Функция убывает на промежутке 
поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда 
откуда получаем 
то есть 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнения не имеет корней, при 
уравнения имеет единственный корень, равный 1, при 
уравнение имеет два корня.
Если уравнение имеет два корня 
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень принадлежит промежутку 
тогда и только тогда, когда
Таким образом, исходное уравнение 
имеет следующее количество корней на промежутке 
:
— нет корней при 
— один корень при 
и при 
— два корня при 
и при 
— три корня при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |