PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Сделаем замену 
поэтому 
Задачу можно сформулировать так: найдите значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию
Перейдем к системе:
Заметим, что ни при одном значении a число 
не является корнем уравнения.
Рассмотрим функцию 
Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:
1. Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке 
то есть
2. Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке то есть
3. Трёхчлен имеет два корня, возможно совпадающих, и оба, а также вершина, лежат на промежутке то есть
где 
— абсцисса вершины параболы. Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции 
:
Решим первую систему:
Решим вторую систему:
Решим третью систему:
Приведем решение, предложенное Ириной Владимировной Шраго.
Сделаем замену 
поэтому 
и преобразуем уравнение.
Задачу можно сформулировать так: найдите значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 
Левая часть этого уравнения — функция 
графиком которой является парабола, правая часть — функция 
пучок прямых, проходящих через точку 
Для того чтобы исходное уравнение имело решение, необходимо, чтобы графики пересекались при 
Определим, при каких a графики касаются, в этом случае дискриминант уравнения 
должен быть равен нулю. 
откуда a = –3 или a = –2. В первом случае касание происходит при 
а во втором — при 
Таким образом, при 
— графики пересекаются на промежутке 
при 
— графики не пересекаются, при 
— графики пересекаются на промежутке 
Откуда и следует ответ.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным количеством точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а. | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |