РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 501046 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств: $система выражений новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 2, новая строка 25 в степени x минус 5 умножить на 10 в степени x минус 6 умножить на 4 в степени x меньше или равно 0. конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2.$

Сделаем замену $y= логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка :$

$y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби меньше или равно 2 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: y конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений y=1 y меньше 0. конец совокупности .$

Если $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка =1,$ то

$система выражений новая строка 2x минус 1=4x минус 5, новая строка 2x минус 1 больше 0, новая строка 2x минус 1 не равно 1. конец системы . равносильно x=2.$

Если $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка меньше 0,$ то

$система выражений новая строка дробь: числитель: 4x минус 5 минус 1, знаменатель: 2x минус 1 минус 1 конец дроби меньше 0, новая строка 2x минус 1 больше 0,\qquad новая строка 4x минус 5, новая строка 2x минус 1 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше 0, новая строка x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит, решение первого неравенства $дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ или $x=2.$

Решим второе неравенство. Разделим обе части на $4 в степени x :$

$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 меньше или равно 0.$

Сделаем замену $z= левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Получаем $z в квадрате минус 5z минус 6 меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно z меньше или равно 6.$

Отсюда находим $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 6 равносильно x меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2,5 правая круглая скобка 6.$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Учитывая, что $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше логарифм по основанию дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби 6 меньше 2,$ находим решение системы: $дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верный ответ водном неравенстве системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

501046

$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	501046	$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$