РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500919 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Целые и рациональные неравенства с иррациональными коэффициентами, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Простые системы неравенств. Рациональные, иррациональные, показательные неравенства

Решите систему неравенств: $система выражений новая строка дробь: числитель: 2, знаменатель: 0,5x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 0,5x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2, знаменатель: 0,5x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 3 конец дроби больше или равно 2, новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 25, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство. Сделаем замену $z=0,5x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ получаем:

$дробь: числитель: 2, знаменатель: z минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: z минус 2, знаменатель: z минус 3 конец дроби \geqslant2 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка z минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка z минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка z минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка z минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка 1 меньше z меньше или равно 2, новая строка 3 меньше z меньше или равно 5. конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем: $дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби$ или $дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби меньше x меньше или равно 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Решим второе неравенство. Сделаем замену $t= дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: 2 конец дроби ,$ получаем:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс t правая круглая скобка в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 25, знаменатель: 4 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс t меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 5 меньше или равно дробь: числитель: 2t в квадрате плюс 2, знаменатель: t конец дроби \leqslant5 равносильно$ $равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 2t в квадрате минус 5t плюс 2, знаменатель: t конец дроби \leqslant0, новая строка дробь: числитель: 2t в квадрате плюс 5t плюс 2, знаменатель: t конец дроби \geqslant0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl t меньше 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно t меньше или равно 2,\endarray. новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl минус 2 меньше или равно t меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , t больше 0 \endarray. конец системы . равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно |t| меньше или равно 2.$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем: $0 меньше или равно x меньше или равно 3$ или $5 меньше или равно x меньше или равно 8.$

Пересчём полученные решения. Поскольку $0 меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби меньше дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби меньше 3 меньше 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше 5,$ получаем множетсво решений системы: $левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;3 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

500919

$левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;3 правая квадратная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500919	$левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;3 правая квадратная скобка .$