PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 2 : 1.
а) Докажите, что вершины 
и С равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
Решение. а) Четырехугольник
− параллелограмм (даже прямоугольник), поэтому прямая 
пересекает плоскость BED1 в точке O, середине отрезка 
Пусть точки HA и HC − проекции, соответственно, точек и C на плоскость BED1. Тогда треугольники 
и HCCO равны по гипотенузе и острому углу, значит, 
Что и требовалось доказать.
б) Прямая 
пересекает прямую AD в точке 
Плоскости ABC и 
пересекаются по прямой 
Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) перпендикулярен прямой KB по теореме о трех перпендикулярах. Угол EHA является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и 
Поскольку 
получаем:
Из подобия треугольников 
и AKE находим:
В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом 
откуда высота
Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |