РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500429 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы тригонометрических уравнений, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений новая строка дробь: числитель: 8 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0. конец системы .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $y=2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ $y больше 0.$

$система выражений новая строка \dfracy в кубе минус 5yy минус дробь: числитель: 16, знаменатель: y конец дроби больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка \dfracy в степени 4 минус 5y в квадрате y в квадрате минус 16 больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка \dfrac левая круглая скобка y минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше x меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , новая строка x больше 4. конец совокупности .$ $система выражений новая строка \dfracy в кубе минус 5yy минус дробь: числитель: 16, знаменатель: y конец дроби больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка \dfracy в степени 4 минус 5y в квадрате y в квадрате минус 16 больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка \dfrac левая круглая скобка y минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше x меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , новая строка x больше 4. конец совокупности .$ $система выражений новая строка \dfracy в кубе минус 5yy минус дробь: числитель: 16, знаменатель: y конец дроби больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка \dfracy в степени 4 минус 5y в квадрате y в квадрате минус 16 больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка \dfrac левая круглая скобка y минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше x меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , новая строка x больше 4. конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной, получим: $x меньше или равно логарифм по основанию 4 5$ или $x больше 2.$

2.  Решим второе неравенство системы: $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1.$

Рассмотрим два случая.

а)  Первый случай: $x в квадрате больше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше 2 минус x меньше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно 0, новая строка 2 минус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x меньше 2. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше 2 минус x меньше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно 0, новая строка 2 минус x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x меньше 2. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 0 меньше 2 минус x меньше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно 0, новая строка 2 минус x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x меньше 2. конец системы .$

Откуда, учитывая условие $x в квадрате больше 1,$ находим: $x меньше или равно минус 2$ или $1 меньше x меньше 2.$

б)  Второй случай: $0 меньше x в квадрате меньше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 2 минус x больше или равно x в квадрате равносильно x в квадрате плюс x минус 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно x меньше или равно 1.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 2 минус x больше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс x минус 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно x меньше или равно 1.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 2 минус x больше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс x минус 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 2 меньше или равно x меньше или равно 1.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 2 минус x больше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс x минус 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 2 меньше или равно x меньше или равно 1.$

Учитывая условие $0 меньше x в квадрате меньше 1,$ получаем: $минус 1 меньше x меньше 0$ или $0 меньше x меньше 1.$

Множество решений второго неравенства исходной системы: $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1,2 правая круглая скобка .$

3.  Учитывая, что $1 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5 меньше 2,$ получаем решение исходной системы неравенств: $левая круглая скобка − бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка − бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верны ответ в одном из неравенств системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

500429

$левая круглая скобка − бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5 правая квадратная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500429	$левая круглая скобка − бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5 правая квадратная скобка .$