PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет более двух корней.
Решение. Рассмотрим функции 
и 
Исследуем уравнение 
На промежутке 
функция 
возрастает. Функция 
убывает на этом промежутке, поэтому уравнение 
имеет не более одного решения на промежутке 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
то есть при 
При 
уравнение принимает вид 
При 
левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
дискриминант которого 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при 
уравнение имеет единственный корень 
при 
уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня,
и 
Тогда меньший корень 
всегда меньше 
а больший корень 
не превосходит если 
то есть при 
По теореме Виета:
поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений 
и 
Значит, при 
оба корня отрицательны, при 
один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при 
оба корня неотрицательны.
Таким образом, при уравнение 
не имеет корней при 
и 
имеет один корень при 
и 
имеет два корня при 
Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней:
— нет корней при 
— один корень при 
и
— два корня при 
и
— три корня при
Ответ:
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |