РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500388 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений новая строка 9 в степени x минус 28 меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3 минус x, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 3 конец дроби . конец системы .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $y=3 в степени x :$

$y в квадрате минус 28 меньше или равно 27y равносильно y в квадрате минус 27y минус 28 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка y минус 28 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно y меньше или равно 28.$ $y в квадрате минус 28 меньше или равно 27y равносильно y в квадрате минус 27y минус 28 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка y минус 28 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно y меньше или равно 28.$

Тогда $минус 1 меньше или равно 3 в степени x меньше или равно 28,$ откуда находим решение первого неравенства системы: $x меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 28.$

2.  Решим второе неравенство системы:

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 1.$

Рассмотрим два случая.

Первый случай: $x плюс 7 больше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 1 равносильно 0 меньше дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно x плюс 7 равносильно$ $система выражений новая строка \dfracx в квадрате плюс 7x плюс 10x плюс 1 больше или равно 0, новая строка \dfracx минус 3x плюс 1 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка \dfrac левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка x плюс 1 больше или равно 0, новая строка \dfracx минус 3x плюс 1 больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка минус 5 меньше или равно x меньше или равно минус 2, новая строка x больше 3. конец совокупности .$

Все полученные значения переменной удовлетворяют условию $x плюс 7 больше 1.$

Второй случай: $0 меньше x плюс 7 меньше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше или равно x плюс 7 равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 7x плюс 10, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно минус 5, новая строка минус 2 меньше или равно x меньше минус 1. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше или равно x плюс 7 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 7x плюс 10, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно минус 5, новая строка минус 2 меньше или равно x меньше минус 1. конец совокупности .$

Учитывая условие $0 меньше x плюс 7 меньше 1,$ получаем: $минус 7 меньше x меньше минус 6.$ Множество решений второго неравенства исходной системы: $левая круглая скобка минус 7; минус 6 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 5; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

3.  Учитывая, что $3 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 28,$ получаем решение исходной системы неравенств: $левая круглая скобка минус 7; минус 6 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 5; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3; логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 28 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 7; минус 6 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 5; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3; логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 28 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верны ответ в одном из неравенств системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

500388

$левая круглая скобка минус 7; минус 6 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 5; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3; логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 28 правая квадратная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500388	$левая круглая скобка минус 7; минус 6 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 5; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3; логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 28 правая квадратная скобка .$