PDF-версии: 
На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE : EC1 = 2 : 1.
а) Докажите, что угол между прямыми BE и AC1 равен углу 
где точка F находится на ребре 
причем 
б) Найдите угол между прямыми BE и AC1.
Решение. а) Примем ребро куба за
Тогда 
Поскольку 
получаем: 
и 
Проведем через точку 
прямую, параллельную 
Она пересекает ребро 
в точке F, причем треугольники BCE и 
равны. Искомый угол равен углу 
(или смежному с ним).
б) В прямоугольном треугольнике с прямым углом 
имеем:
В прямоугольном треугольнике ABF с прямым углом B имеем:
В треугольнике получаем:
откуда
тогда 
Ответ может быть представлен и в другом виде: 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |