РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500368 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решить систему неравенств $левая фигурная скобка \beginmatrix \dfrac3 минус 4 в степени x 2 минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 1,5, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1. \endmatrix .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $y=2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка :$

$дробь: числитель: 3 минус y в квадрате , знаменатель: 2 минус y конец дроби больше или равно 1,5 равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 1,5y, знаменатель: y минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: y левая круглая скобка y минус 1,5 правая круглая скобка , знаменатель: y минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше или равно y меньше или равно 1,5 новая строка y больше 2. конец совокупности .$

Тогда $0 меньше или равно 2 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ или $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 2,$ откуда: $x меньше логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 2$ или $x больше 1.$

2.  Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай: $x в квадрате больше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше 2 минус x меньше или равно x в квадрате равносильно$ $система выражений новая строка x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно 0, новая строка 2 минус x больше 0; конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x меньше 2/ конец системы .$

Откуда, учитывая условие $x в квадрате больше 1,$ получаем: $x меньше или равно минус 2$ или $1 меньше x меньше 2.$

Второй случай: $0 меньше x в квадрате меньше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 2 минус x больше или равно x в квадрате равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $минус 2 меньше или равно x меньше или равно 1.$

Учитывая условие $0 меньше x в квадрате меньше 1,$ получаем: $минус 1 меньше x меньше 0$ или $0 меньше x меньше 1.$

Множество решений второго неравенства: $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1,2 правая круглая скобка .$

3.  Учитывая, что $0 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше 1,$ получаем решение исходной системы неравенств: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

500368

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500368	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$