РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.

а)  Может ли в этой прогрессии быть три числа?

б)  Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Решение. а)  В такой прогрессии может быть три члена: например, 2, 4, 6.

б)  В такой прогрессии может быть четыре члена: например, 1, 2, 3, 4.

Предположим, что существует такая арифметическая прогрессия, состоящая не менее чем из пяти членов. Рассмотрим любые пять её последовательных членов. Разделим каждый член на наибольший общий делитель всех пяти членов. Поскольку разности соседних членов уменьшатся в одинаковое число раз, полученные числа $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ также образуют арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Заметим, что числа $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ не могут все быть четными или все делиться на 3.

Если разность этой прогрессии делится на 3, то в ней не может быть члена, делящегося на 3 (иначе все члены прогрессии делятся на 3), поэтому все члены прогрессии являются степенями двойки. Поскольку все члены не могут быть четными, получаем, что среди них присутствует 1. Но в этом случае разность прогрессии нечётна, поэтому чётные и нечётные члены прогрессии чередуются, а нечётных степеней двойки, отличных от 1, не существует.

Пусть теперь разность прогрессии d не делится на 3. Тогда если $a_1$ делится на 3, то члены $a_2=a_1 плюс d,$ $a_3=a_1 плюс 2d$ и $a_5=a_1 плюс 4d$ не делятся на 3, а $a_4=a_1 плюс 3d$ делится на 3. Аналогично, если $a_2$ делится на 3, то из чисел $a_1,$ $a_3,$ $a_4,$ $a_5$ на 3 будет делиться только $a_5.$ Наконец, если $a_3$ делится на 3, то ни одно из чисел $a_1,$ $a_2,$ $a_4,$ $a_5$ не делится на 3. Значит, найдутся два последовательных члена прогрессии, являющиеся степенями двойки.

Если оба эти члена четны, то и все члены прогрессии чётны, чего не может быть. Поэтому одно из этих чисел - единица. Единица может стоять в прогрессии только на первом или пятом месте, в этом случае на 3 делится только $a_3,$ поскольку единица  — один из двух последовательных членов прогрессии, являющихся степенями двойки. Тогда $a_1,$ $a_2,$ $a_4,$ $a_5$ являются степенями двойки. Разность прогрессии $d=a_2 минус a_1=a_5 минус a_4,$ значит, она чётна и все члены прогрессии чётны, чего не может быть.

Ответ: а) да; б) 4.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены оба пункта	4
Верно выполнен п. а и доказана оценка в п. б	3
Приведен пример или доказана оценка в п. б	2
Приведен пример в п. а	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500116	а) да; б) 4.

Ключ