РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).

а)  Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б)  Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.

Решение. Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной x см. Условие того, что его можно разрезать на n стандартных кусков, записывается в виде $99n меньше или равно x меньше или равно 102n$ или $99 меньше или равно дробь: числитель: x, знаменатель: n конец дроби меньше или равно 102.$

а)  В данном случае имеем $99 умножить на 33 меньше x меньше 102 умножить на 33$ (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на n стандартых кусков, тогда, при $n больше или равно 34$ получаем

$дробь: числитель: x, знаменатель: n конец дроби меньше или равно дробь: числитель: x, знаменатель: 34 конец дроби меньше дробь: числитель: 102 умножить на 33, знаменатель: 34 конец дроби =99,$

то есть этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на $33$ стандартных куска.

При $n=33$ получаем $99 меньше или равно дробь: числитель: x, знаменатель: 33 конец дроби меньше или равно 102.$ Значит, эту веревку можно разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б)  Отрезки $левая квадратная скобка 99n,102n правая квадратная скобка$ и $левая квадратная скобка 99 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ,102 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка правая квадратная скобка ,$ являющиеся решениями неравенств $99n меньше или равно x меньше или равно 102n$ и $99 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно x \leqslant102 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ,$ имеют общие точки для всех n, при которых $99 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 102n,$ то есть при $n больше или равно 33.$ Значит, любую веревку длиной $99 умножить на 33=3267$ см или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше $102 умножить на 32=3264$ см, но меньше $99 умножить на 33=3267$ см, нельзя разрезать на n стандартных кусков ни для какого $n.$ При $n больше или равно 33$ получаем $x меньше 99 умножить на 33 меньше или равно 99n,$ что противоречит условию $99n меньше или равно x.$ При $n меньше или равно 32$ получаем $x больше 102 умножить на 32 больше или равно 102n,$ что противоречит условию $x меньше или равно 102n.$ Таким образом, искомое число равно 3267.

Ответ: а) 33; б) 3267.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов:   — искомая оценка в п. а;   — пример в п. а, обеспечивающий точность предыдущей оценки;   — искомая оценка в п. б;   — пример в п. б, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500068	а) 33; б) 3267.

Ключ