PDF-версии: 
Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 26, BC = 20. Пусть AH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина BC.
Обозначим ∠ABC = ∠ACB = α. Тогда
Предположим, что окружность радиуса r с центром O1 вписана в угол ACB и касается основания BC в точке N, а окружность того же радиуса с центром O2 вписана в угол ABC, касается основания BC в точке M, а первой окружности — в точке D. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
а 
Из прямоугольного треугольника BMO2 находим:
Тогда 
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O1O2 = 2r, значит, MN = O1O2 = 2r, поскольку O1O2MN — прямоугольник. Следовательно,
откуда находим r = 4.
Пусть теперь окружность радиуса r с центром O1 вписана в угол BAC и касается боковой стороны AB в точке P, вторая окружность радиуса r с центром O2 вписана в угол ABC, касается боковой стороны AB в точке Q, а также касается первой окружности.
Из прямоугольных треугольников APO1 и BQO2 находим:
Следовательно, 
откуда находим 
В случае, когда окружности вписаны в углы BAC и ACB, получим тот же результат.
Ответ: 4 или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |