РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д14 C4 № 500009 Добавить в вариант

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Многоугольники и их свойства

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника ABE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD  =  α и $\operatorname тангенс альфа = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Решение. Введем следующие обозначения: $AB=BE=c,$ $BC=a,$ $BD=h.$

1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).

Треугольник АВЕ равнобедренный, поэтому $\angle ABD=\angle DBE= дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби ,$ а значит, $\angle CBE= дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби .$

Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны, значит,

$дробь: числитель: S_\Delta DBE, знаменатель: S_\Delta CBE конец дроби = дробь: числитель: hc, знаменатель: ac конец дроби = дробь: числитель: h, знаменатель: a конец дроби = косинус альфа ,$

откуда $S_\Delta DBE=S_\Delta CBE косинус альфа .$

Поскольку $косинус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 плюс \operatorname тангенс конец аргумента в квадрате альфа конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ получаем

$S_\Delta DBE= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби S_\Delta CBE,$

откуда

$S_\Delta ABE= дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби S_\Delta CBE,$

значит,

$S_\Delta ABE= дробь: числитель: 6, знаменатель: 11 конец дроби S_\Delta ABC = дробь: числитель: 6, знаменатель: 11 конец дроби умножить на 55 =30.$

2 случай (точка A лежит между точками E и С, см. рис. 2).

Аналогично случаю 1 находим

$S_\Delta ABE= дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби$ $S_\Delta ABC = дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби умножить на 55=66.$

Ответ: 30 или 66.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины или рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, но получен неправильный ответ из-за одной арифметической ошибки	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 30 или 66.

500009

30 или 66.

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500009	30 или 66.