РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д14 C4 № 500003 Добавить в вариант

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Многоугольники и их свойства

Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что ∠ABE = ∠CBD  =  α и $\operatorname тангенс альфа = дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби .$

Решение. Введем следующие обозначения: $AB=BE=c,$ $BC=a,$ $BD=h.$

1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).

1.  Треугольник АВЕ ― равнобедренный, поэтому $\angle ABD=\angle DBE= дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби ,$ а значит, $\angle CBE= дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби .$

2.  Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны. Следовательно,

$дробь: числитель: S_\Delta DBE, знаменатель: S_\Delta CBE конец дроби = дробь: числитель: hc, знаменатель: ac конец дроби = дробь: числитель: h, знаменатель: a конец дроби = косинус альфа ,$

откуда

$S_\Delta CBE=$ $дробь: числитель: S_\Delta DBE, знаменатель: косинус альфа конец дроби .$

3.  Поскольку

$косинус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 плюс тангенс в квадрате альфа конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби ,$

получаем:

$S_\Delta CBE=$ $дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби S_\Delta DBE= дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби умножить на 7=25.$

4.  Окончательно находим:

$S_\Delta ABC=S_\Delta ABE плюс S_\Delta CBE=14 плюс 25=39.$

2 случай (точка A лежит между точками E и С (см. рис. 2).

Аналогично случаю 1 находим

$S_\Delta ABC=$ $дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби$ $S_\Delta DBE=$ $дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби умножить на 7=25.$

Ответ: 25 или 39.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины или рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, но получен неправильный ответ из-за одной арифметической ошибки	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 25 или 39.

500003

25 или 39.

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500003	25 или 39.