РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 485993 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Показательные уравнения и неравенства, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему $левая фигурная скобка \beginmatrix 5 в степени левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно минус 72, логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0. \endmatrix .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство:

$5 в степени левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 25 правая круглая скобка меньше или равно минус 72 равносильно 5 в степени левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 3 равносильно 3x минус 1 больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 3 равносильно x больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 3 плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

2.  Решим второе неравенство. Заметим, что $3x в квадрате минус 2x плюс 1 больше 0$ при всех $x.$ При условиях $x больше 0$ и $x не равно 3$ получаем неравенство

$левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате минус 2x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0.$

При указанных условиях получаем: $0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ или $x больше 3.$

3.  Решением системы является общая часть решений двух неравенств. $0 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 3 меньше 1,$ поэтому $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 3 плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Следовательно, $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 3 плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ или $x больше 3.$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 3 плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но решение системы не найдено или найдено неверно	2
Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

485993

$левая квадратная скобка дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 3 плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	485993	$левая квадратная скобка дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 3 плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$