РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 485979 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему

$система выражений новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 2, новая строка 9 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 0. конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2.$

Сделаем замену $y= логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка :$

$y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби меньше или равно 2 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: y конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше 0, новая строка y=1. конец совокупности .$

Если $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка =1,$ то

$система выражений новая строка 2x плюс 1=4x минус 5, новая строка 2x плюс 1 больше 0, новая строка 2x плюс 1 не равно 1, конец системы . равносильно x=3.$

Если $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка меньше 0,$ то

$система выражений новая строка дробь: числитель: 4x минус 5 минус 1, знаменатель: 2x плюс 1 минус 1 конец дроби меньше 0, новая строка 2x плюс 1 больше 0, новая строка 4x минус 5 больше 0, новая строка 2x плюс 1 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 4x минус 6, знаменатель: x конец дроби меньше 0, новая строка x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Множество решений первого неравенства: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка .$

Решим второе неравенство. Разделим правую и левую части на $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка :$

$левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 меньше или равно 0.$

Сделаем замену $z= левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Получаем: $z в квадрате минус 2z минус 3 меньше или равно равносильно минус 1 меньше или равно z меньше или равно 3.$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем: $левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 3,$ то есть $x меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка 3.$

Решением системы является пересечение решений двух неравенств. Учитывая, что $2 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка 3 меньше 3,$ находим решение системы: $дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Оба неравенства системы решены верно, но система решена неверно	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

485979

$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	485979	$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$