Ре­ше­ние. Обо­зна­чим тре­уголь­ник ABC. Пред­по­ло­жим, что от­ре­зок NM от­се­ка­ет от тре­уголь­ни­ка ABC тре­уголь­ник ANM.

Обо­зна­чим точки ка­са­ния окруж­но­сти и пря­мых P, Q, R, S. Так как OQMR и OPCS  — квад­ра­ты, MQ  =  PC  =  r, где r  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Кроме того, NQ  =  NP. Зна­чит, NM  =  NC. BN  — бис­сек­три­са угла ABC.

Тре­уголь­ни­ки NMB и NCB равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. Пусть CB  =  8x, а CA  =  15x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AB  =  17x. Тогда AM  =  AB − BM  =  17x − 8x  =  9x. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AMN и ACB по­лу­ча­ем: от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Найдём ра­ди­ус окруж­но­сти:

Если от­ре­зок от­се­ка­ет тре­уголь­ник BNM, то, рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим, что BM  =  17x − 15x  =  2x. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ACB и NMB по­лу­ча­ем: от­ку­да Тогда r  =  3x  =  32.

Ответ: 25 или 32.