PDF-версии: 
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Решение. Первое уравнение задаёт на плоскости окружности
и 
радиуса 
симметричные относительно оси ординат. Центры этих окружностей — точки 
и 
Второе уравнение — уравнение окружности 
радиуса 
с центром 
Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается одной из окружностей и 
но не имеет общих точек с другой окружностью.
Из точки C проведём лучи 
и 
и обозначим 
точки их пересечения с окружностями и (см. рис.).
Заметим, что 
поэтому 
и 
Значит, если 
то касается но не имеет общих точек с 
Если 
то касается 
но не имеет общих точек с 
Сравним 
и 
:
Получаем 
Значит, если касается в точке 
то пересекает в двух точках. Аналогично, если касается в точке 
то пересекает в двух точках. Следовательно, других решений, кроме двух найденных, система не имеет.
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения (неучтено условие a>0); – или решение недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром 1 | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
или или