РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 484659 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел $a_n.$ В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше $100.$ Найдите наименьшее возможное значение $a_3.$

Решение. Наименьшее возможное значение третьего члена возрастающей последовательности натуральных чисел $a_3=3,$ причем только если $a_1=1$ и $a_2=2.$ То есть если десятичная дробь начинается так:

$0,123\ldots$ (четвертая цифра не $0$ ).

Заметим, что таким образом начинается, например, число

$m=10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс \ldots плюс n умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка плюс \ldots$

Найдем число m и проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи. Для этого запишем сумму подробнее.

$\beginalignm=10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка плюс \ldots \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка плюс \ldots \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка плюс \ldots \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка плюс \ldots \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка плюс \ldots\endalign$

В каждой строчке  — сумма геометрической прогрессии со знаменателем $10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ По формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем:

$m=10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка } левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс \ldots =$ $m=$
$=10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка } левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс \ldots =$

$= дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка плюс \ldots правая круглая скобка = дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: 81 конец дроби .$

Следовательно, m  — рациональное число, и оно представляется дробью со знаменателем 81, что меньше ста. Число m удовлетворяет условию задачи и для этого числа $a_3=3.$

Ответ: 3.

Приведем другое решение.

Ясно, что если дробь можно записать в виде 0,123..., то $a_3=3.$ Вспомним, что $дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: 80 конец дроби =0,125.$ Чтобы уменьшить величину дроби, увеличим ее знаменатель на 1, получим $дробь: числитель: 10, знаменатель: 81 конец дроби =0,1234...$ Это число дает искомый пример.

Примечание.

Возможны и другие примеры: $дробь: числитель: 9, знаменатель: 73 конец дроби , дробь: числитель: 11, знаменатель: 89 конец дроби , дробь: числитель: 12, знаменатель: 97 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С6	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Ответ: 3.

484659

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484659	3.