Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система 
имеет ровно 4 решения.
Решение. Запишем систему в виде
Полагая 
находим:
Из первого уравнения полученной системы по известному значению v можно найти не больше двух значений u, причем два решения имеются тогда и только тогда, когда 
Чтобы исходная система имела ровно 4 решения, второе ее второе уравнение должно иметь либо единственное решение, принадлежащее промежутку (0; 9), либо одно отрицательное решение и одно решение их промежутка (0; 9). В первом случае дискриминант равен нулю: 
откуда 
при таких значениях параметра 
Второй случай реализуется тогда и только тогда, когда квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, в точке 0 отрицателен, а в точке 9 — положителен, то есть если:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Преобразуем систему:
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):
Второе уравнение задает окружность радиусом 
с центром 
На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.
1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.
2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.
Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы 
Получим: 
откуда 
Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: 
откуда 
Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.
Ответ:
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Приведем другое решение.
Преобразуем систему:
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):
Второе уравнение задает окружность радиусом с центром
На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.
1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.
2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.
Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы Получим: откуда Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: откуда Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.
Приведем другое решение.
Преобразуем систему:
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):
Второе уравнение задает окружность радиусом с центром
На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.
1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.
2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.
Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы Получим: откуда Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: откуда Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.