РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 484597 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Группировка

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 6x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка 20 в степени x минус 64 умножить на 5 в степени x минус 4 в степени x плюс 64 меньше или равно 0. конец системы .$

Решение. Область допустимых значений первого неравенства задается соотношениями:

$система выражений логарифм по основанию x 2x больше 0, логарифм по основанию x 2x не равно 1, 6x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x больше 1. конец совокупности .$

На области допустимых значений справедливы равносильности:

$логарифм по основанию a b больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: b минус 1, знаменатель: a минус 1 конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию a b минус { логарифм по основанию a c больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: b минус c, знаменатель: a минус 1 конец дроби больше или равно 0,a в степени b минус a в степени c больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка больше или равно 0.$

Поэтому на ОДЗ имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 6x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 6x минус 3, знаменатель: логарифм по основанию x 2x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию x 2x минус логарифм по основанию x x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 6x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 6x минус 3, знаменатель: логарифм по основанию x 2x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию x 2x минус логарифм по основанию x x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 6x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 6x минус 3, знаменатель: логарифм по основанию x 2x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию x 2x минус логарифм по основанию x x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Заметим, что

$20 в степени x минус 64 умножить на 5 в степени x минус 4 в степени x плюс 64=5 в степени x умножить на 4 в степени x минус 64 умножить на 5 в степени x минус левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка =$
$=5 в степени x левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка .$ $20 в степени x минус 64 умножить на 5 в степени x минус 4 в степени x плюс 64=$
$=5 в степени x умножить на 4 в степени x минус 64 умножить на 5 в степени x минус левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка =$
$=5 в степени x левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка .$ $20 в степени x минус 64 умножить на 5 в степени x минус 4 в степени x плюс 64=$
$=5 в степени x умножить на 4 в степени x минус 64 умножить на 5 в степени x минус левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка =$
$=5 в степени x левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 5 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка .$

Поэтому

$20 в степени x минус 64 умножить на 5 в степени x минус 4 в степени x плюс 64\leqslant0 равносильно левая круглая скобка 5 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x минус 5 в степени 0 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x минус 4 в кубе правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно 4x умножить на 3 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $20 в степени x минус 64 умножить на 5 в степени x минус 4 в степени x плюс 64\leqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x минус 5 в степени 0 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x минус 4 в кубе правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно 4x умножить на 3 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $20 в степени x минус 64 умножить на 5 в степени x минус 4 в степени x плюс 64\leqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x минус 64 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x минус 5 в степени 0 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x минус 4 в кубе правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 4x умножить на 3 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Окончательно имеем:

$система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка x больше 1, \endarray . новая строка дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, новая строка x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка \leqslant0 . конец системы . равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка x больше 1, \endarray . новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка x больше 1, \endarray . новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 1 меньше x меньше или равно 3. конец совокупности .$ $система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка x больше 1, \endarray . новая строка дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, новая строка x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка \leqslant0 . конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка x больше 1, \endarray . новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка x больше 1, \endarray . новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 1 меньше x меньше или равно 3. конец совокупности .$ $система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка x больше 1, \endarray . новая строка дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, новая строка x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка \leqslant0 . конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка x больше 1, \endarray . новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая квадратная скобка 6pt правая квадратная скобка x больше 1, \endarray . новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 1 меньше x меньше или равно 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

484597

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Группировка

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484597	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$