РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 484596 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Группировка

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, 6 в степени x минус 4 умножить на 3 в степени x минус 2 в степени x плюс 4 меньше или равно 0. конец системы .$

Решение. Область допустимых значений неравенства задается соотношениями:

$система выражений логарифм по основанию x 2x больше 0, логарифм по основанию x 2x не равно 1, 9x минус 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 0, x больше дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка x больше 1. конец совокупности .$

На области допустимых значений справедливы равносильности:

$логарифм по основанию a b больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0,$

$логарифм по основанию a b минус логарифм по основанию a c больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка больше или равно 0,$

$a в степени b минус a в степени c больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка больше или равно 0.$

Поэтому на ОДЗ имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x минус логарифм по основанию x x правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию x 2x минус логарифм по основанию x x правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Заметим, что

$6 в степени x минус 4 умножить на 3 в степени x минус 2 в степени x плюс 4 = 3 в степени x умножить на 2 в степени x минус 4 умножить на 3 в степени x минус левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка = 3 в степени x левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка .$ $6 в степени x минус 4 умножить на 3 в степени x минус 2 в степени x плюс 4 = 3 в степени x умножить на 2 в степени x минус 4 умножить на 3 в степени x минус левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка =$
$= 3 в степени x левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка .$

Поэтому

$6 в степени x минус 4 умножить на 3 в степени x минус 2 в степени x плюс 4 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 3 в степени x минус 3 в степени 0 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $6 в степени x минус 4 умножить на 3 в степени x минус 2 в степени x плюс 4 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3 в степени x минус 3 в степени 0 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Окончательно имеем:

$система выражений новая строка x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1, плюс бесконечность правая круглая скобка , новая строка x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1, плюс бесконечность правая круглая скобка , новая строка x принадлежит левая квадратная скобка 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1, плюс бесконечность правая круглая скобка , новая строка x принадлежит левая квадратная скобка 0,2 правая квадратная скобка конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 1 меньше x меньше или равно 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

484596

$левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Группировка

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484596	$левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка .$