РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 484585 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство: $дробь: числитель: 14 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: 7\lg в квадрате левая круглая скобка 100x правая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 0,1x правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 10x правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: 4\lg в квадрате левая круглая скобка 100x правая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 0,1x правая круглая скобка конец дроби .$

Решение. Заметим, что

$левая круглая скобка 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 10x правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка = левая круглая скобка 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка =4 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =$
$=2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =$ $левая круглая скобка 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 10x правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка = левая круглая скобка 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка =$
$=4 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =$
$=2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =$

$=2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка \lg в квадрате x плюс 2 десятичный логарифм x плюс 1 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x плюс \lg в квадрате x плюс 2 десятичный логарифм x плюс 1 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка \lg в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка .$ $=2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка \lg в квадрате x плюс 2 десятичный логарифм x плюс 1 правая круглая скобка =$
$=2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x плюс \lg в квадрате x плюс 2 десятичный логарифм x плюс 1 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка \lg в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка .$

Преобразуем обе части неравенства:

$дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 7 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: 7 левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 4 левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 7 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: 7 левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x в квадрате плюс 3 десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 4 левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби .$ $дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 7 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: 7 левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 4 левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка умножить на 7 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: 7 левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x в квадрате плюс 3 десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 4 левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Разделив обе части на $2 в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм x правая круглая скобка$ и сократив левую часть на 7, а правую  — на 4, получим:

$дробь: числитель: 7 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: 7 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 умножить на десятичный логарифм x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка \lg в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$ $дробь: числитель: 7 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 7 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 умножить на десятичный логарифм x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка \lg в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$ $дробь: числитель: 7 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 7 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 умножить на десятичный логарифм x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка \lg в квадрате x плюс 3 десятичный логарифм x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка десятичный логарифм x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Сделаем замену: $y= десятичный логарифм x,$ тогда получим

$дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка y логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка y в квадрате плюс 3y правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0,$

откуда методом рационализации получим

$дробь: числитель: y умножить на логарифм по основанию 2 7 минус левая круглая скобка y в квадрате плюс 3y правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: y левая круглая скобка y минус левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Решим полученное рациональное неравенство:

$совокупность выражений y меньше минус 2, минус 2 меньше y меньше или равно логарифм по основанию 2 7 минус 3, 0 меньше или равно y меньше 1. конец совокупности .$

Тогда

$совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби меньше x меньше или равно 10 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 3 правая круглая скобка , 1 меньше или равно x меньше 10. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби ;10 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;10 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

484585

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби ;10 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;10 правая круглая скобка .$